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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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3. Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones hasta el orden indicado en el punto dado
d) f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x orden 5 x0=0x_{0}=0

Respuesta

Ahora nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden 55 centrado en x=0x=0 de la función f(x)=cos⁡(x)f(x)=\cos (x)

Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:

p(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(0)3!x3+f′′′′(0)4!x4+f′′′′′(0)5!x5 p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \frac{f'''''(0)}{5!}x^5

Arrancamos entonces:

f(x)=cos⁡(x) f(x) = \cos(x)
f(0)=cos⁡(0)=1 f(0) = \cos(0) = 1 . f′(x)=−sin⁡(x) f'(x) = -\sin(x)
f′(0)=−sin⁡(0)=0 f'(0) = -\sin(0) = 0 . f′′(x)=−cos⁡(x) f''(x) = -\cos(x)
f′′(0)=−cos⁡(0)=−1 f''(0) = -\cos(0) = -1 . f′′′(x)=sin⁡(x) f'''(x) = \sin(x)
f′′′(0)=sin⁡(0)=0 f'''(0) = \sin(0) = 0 . fIV(x)=cos⁡(x) f^{IV}(x) = \cos(x)
fIV(0)=cos⁡(0)=1 f^{IV}(0) = \cos(0) = 1 .
fV(x)=−sin⁡(x) f^{V}(x) = -\sin(x)
fV(0)=−sin⁡(0)=0 f^{V}(0) = -\sin(0) = 0

Listoooo! Reemplazamos en la estructura de nuestro Taylor y nos queda:

p(x)=1+0⋅x+−12!x2+03!x3+14!x4+05!x5 p(x) = 1 + 0 \cdot x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{0}{5!}x^5 p(x)=1−12x2+124x4 p(x) = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4

y este es el polinomio de Taylor que estábamos buscando 😊
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